** Étude d'une suite (1)

Partie 1 - Étude d’une fonction

On considère la fonction  `f` définie sur  `\mathbb{R}` par `f(x) = 3 - \text{e}^{−x}− x` .

1. a. Déterminer la limite de   `f` en `+\infty` .
    b. Montrer que, pour tout réel  `x` ,  `f(x)=3-\text{e}^{-x}\left(1+x\text{e}^x\right)`  et en déduire la limite de  `f` en `-\infty.`
2. Étudier les variations de  `f`   sur `\mathbb{R}`  et dresser le tableau complet des variations de \(f\) .
3. a. Déterminer le nombre de solutions de l’équation `f(x) = 0` sur `\mathbb{R}` .
    b. Donner une valeur approchée à `10^{−2}` près de chacune des solutions de l’équation.

Partie B - Étude d’une suite

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 = 2` et, pour tout entier naturel `n, u_{n+1} = 3 − \text{e}^{−u_n}` .
1. Étudier les variations de la fonction  `g` définie sur  `\mathbb{R}` par `g(x) = 3 − \text{e}^{−x}` .
2. a. Montrer que la suite  `(u_n)` est positive, croissante et majorée par `3` .
    b. En déduire que la suite `(u_n)` est convergente.
3. Déterminer, en explicitant le raisonnement, une valeur approchée de la limite à   `10^{−2}` près.